Practicando lo más difícil

A pesar de lo sencillo que es el procedimiento de restar, es fácil confundirse. Tenemos interiorizado el sistema decimal y hemos aprendido a restar mecánicamente, sin detenernos a pensar en el significado del arrastre. Para simplificar las restas y reducir la posibilidad de cometer errores hay varias soluciones:

Dividir los números largos en grupos. En el siguiente ejemplo, vemos cómo se divide una resta larga en tres restas cortas:

100110011101         1001    1001    1101

010101110010         0101    0111    0010

010000101011         0100    0010    1011

Calculando el complemento a dos del sustraendo

Complemento a dos

El complemento a dos de un número N, compuesto por n bits, se define como:

C_2N = 2ⁿ – N

Veamos un ejemplo: tomemos el número N = 101101₂, que tiene 6 bits, y calculemos su complemento a dos:

N = 45₁₀    n = 6    2⁶ = 64    y, por tanto: C_2N = 64 – 45 = 19 = 010011₂

Ejercicio 3:

Calcula el complemento a dos de los siguientes números:

11001, 10001011, 110011010

Complemento a uno

El complemento a uno de un número N, compuesto por n bits es, por definición, una unidad menor que el complemento a dos, es decir:

C_1N = C_2N – 1

y, por la misma razón:

C_2N = C_1N + 1

Calculemos el complemento a uno del mismo número del ejemplo anterior:

siendo N = 101101, y su complemento a dos C_2N = 010011

C_1N = C_2N – 1 = 010011 – 000001 = 010010

C_1N = 010010

Da la sensación de que calcular el complemento a uno no es más que una forma elegante de complicarse la vida, y que no va a ser más sencillo restar utilizando el complemento a dos, porque el procedimiento para calcular el complemento a dos es más difícil y laborioso que la propia resta. Pero es mucho más sencillo de lo que parece.

En realidad, el complemento a uno de un número binario es el número resultante de invertir los UNOS y CEROS de dicho número. Por ejemplo si:

N = 110100101

Obtenemos su complemento a uno invirtiendo ceros y unos, con lo que resulta:

C_1N = 001011010

y su complemento a dos es: C_2N = C_1N + 1 = 001011011

Veamos otro ejemplo de cálculo de complementos. Sea: N = 0110110101

El complemento a uno es: C_1N = 1001001010

y el complemento a dos es: C_2N = 1001001011

Restar en binario usando el complemento a dos

Y, por fin, vamos a ver cómo facilita la resta el complemento. La resta binaria de dos números puede obtenerse sumando al minuendo el complemento a dos del sustraendo. Veamos algunos ejemplos:

Primer ejemplo:

Hagamos la siguiente resta, 91 – 46 = 45, en binario:

1011011 – 0101110 = 0101101

Tiene alguna dificultad, cuando se acumulan los arrastres a la resta siguiente. Pero esta misma resta puede hacerse como una suma, utilizando el complemento a dos del sustraendo:

1011011 + 1010010 = 0101101

En el resultado de la suma nos sobra un bit, que se desborda por la izquierda. Pero, como el número resultante no puede ser más largo que el minuendo, el bit sobrante se desprecia.

Segundo ejemplo:

Hagamos esta otra resta, 219 – 23 = 196, utilizando el complemento a dos:

219₁₀ = 11011011₂,

23₁₀ = 00010111₂

C₂₂₃ = 11101001

El resultado de la resta será: 11011011 + 11101001 = 111000100

Y, despreciando el bit que se desborda por la izquierda, llegamos al resultado correcto:

11000100₂ = 196₁₀

Ejercicio 4:

Haz las siguientes restas binarias utilizando la técnica del complemento a dos. Al terminar, comprueba los resultados haciendo la resta en el sistema decimal:

11010001101 – 1000111101

10110011101 – 1110101

Fuente

Perez., L. G. (s.f.). ACTIVIDADES DE TECNOLOGÍA. Recuperado el 28 de Enero de 2013, de http://platea.pntic.mec.es/~lgonzale/tic/binarios/aritmetica.html